Question

已知f（x）=x²-2（-1）^klnx的导函数为f′（x），其中k∈N⁺．
（1）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，2a_nf′（a_n）=a_n+1²-3，求数列{a_n²}的通项公式；
（2）当k为奇数时，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=

2

f′(bn)

，令S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：

n

2

≤b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,导数的加法与减法法则

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）当k为偶数时，求导数，由条件得：4（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，证明{a_n ²-

1

3

}是一个公比为4的等比数列，即可求数列{a_n²}的通项公式；
（2）先证明b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1），再证明左、右边成立即可．

解答： （1）解：当k为偶数时，f′（x）=2x-

2

x

，∴f′（a_n）=2a_n-

2

an

，
由条件得：4（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²-

1

3

=4（a_n ²-

1

3

），
∴{a_n ²-

1

3

}是一个公比为4的等比数列，∴a_n²=

2

3

×4^n-1+

1

3

；
（2）证明：当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），b_n+1=

2

f′(bn)

=

bn

1+bn2

，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=b_n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

bn+1

-

1

b1

，
∴b_n+1S_n=1-b_n+1，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1），
∵b₁=1，∴b_n＞0，
∵b_n+1=

2

f′(bn)

=

bn

1+bn2

=

1

bn+ 1 bn

≤

1

2

，
∴b₂+…+b_n+1≤

n

2

，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1）≥

n

2

，左边得证，
∵b_n+1-b_n=

bn

1+bn2

-b_n＜0
∴{b_n}单调递减，
∴0＜b_n＜1，
∵b_n+1-

bn

2

=

bn(1-bn2)

1+bn2

＞0，
∴b_n+1＞

1

2

b_n＞…＞

1

2n

b₁=

1

2n

，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1）＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．右边得证．
∴

n

2

≤b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．