Question

设函数f（x）的图象为一条开口向上的抛物线．已知x，y均为不等正数，p＞0，q＞0且p+q=1，求证：f（px+qy）＜pf（x）+qf（y）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设出f（x）的解析式，利用基本不等式确定p，q和x，y不等式关系，代入函数的解析式化简整理．

解答： 证明：设f（x）=x²+ax+b
∵x，y均为不等正数，p＞0，q＞0，
∴pqx²+pqy²≥2pqxy，
∵x≠y，
∴pqx²+pqy²＞2pqxy，
即p（1-p）x²+（1-q）qy²＞2pqxy，
∴px²+qy²＞p²x²+2pqxy+q²y²，
∴（px²+qy²）+（pax+qay）+（pb+qb）＞（px+qy）²+（pax+qay）+b，
∴p（x²+ax+b）+q（y²+ay+b）＞（px+qy）²+a（px+qy）+b，
即f（px+qy）＜pf（x）+qf（y）．

点评：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生分析和推理的能力．