Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，F₁、F₂是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF₁F₂为直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，且|AB|=

3 2

2

，求：直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1 a2 + e2 b2 =1 e= c a a2=b2+c2 b=c

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）得P（1，

2

2

），设不过原点的直线l的方程为y=kx+t（t≠0），交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，
M为椭圆短轴端点且△MF₁F₂为直角直角三角形．
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e= c a a2=b2+c2 b=c

，解得b=c=1，a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）得椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1，
∵第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，∴P（1，

2

2

）
由题意，当直线l垂直x轴时，不合题意，
设不过原点的直线l的方程为y=kx+t（t≠0），
交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8t²+8＞0，
x1+x2=-

4kt

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2t=

2t

1+2k2

，
x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
直线OP方程为y=

2

2

x，且OP直线过线段AB中点，
∴

2t

1+2k2

=

2

2

×

-4kt

1+2k2

，解得k=-

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(4-2t2)

=

3 2 (4-2t2)

，
由题意|AB|=

3 2

2

，
解得t=±

2

2

．
由△＞0，得t²＜2，
∴t=±

2

2

符合题意，
∴直线l的方程y=-

2

2

x-

2

2

或y=-

2

2

x+

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．