Question

在数列{a_n}中，a₁=a，a₂=b（a、b、n∈N⁺），a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3
（1）若a=6，b=5，求a₅、a₇的值；
（2）是否存在正整数m，使得?a、b∈N⁺，都有a_n≥a_n+m成立？若存在，给出一个m的值，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）证明{a_n}中有无穷多个为零的项．

Answer 1

考点：数列的应用,等差数列的性质,数列与不等式的综合

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）a₁=a=6，a₂=b=5，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3，即可求得a₅、a₇的值；
（2）存在正整数m，使得?a、b∈N⁺，都有a_n≥a_n+m成立，可分别对a_n+1≤a_n与a_n+1＞a_n两种情况讨论，证明即可；
（3）根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．用反证法，假设数列{a_n}中没有0，所以对任意的n，都有a_n≥1，经证明，最后导出矛盾，从而可证数列{a_n}中有无穷多个为零的项．

解答： 解：（1）∵a₁=a=6，a₂=b=5，a_n=|a_n-1-a_n-2|，n≥3，
∴a₃=1，a₄=4，a₅=|4-1|=3，a₆=|3-4|=1，a₇=|1-3|=2；
（2）存在，如m=3时，可证a_n≥a_n+3，证明如下：
?n∈N⁺，a_n=|a_n-1-a_n-2|≥0，又当a_n+1≤a_n时，a_n+2=|a_n+1-a_n|=a_n-a_n+1≤a_n，又0≤a_n+1≤a_n，
∴a_n+3=|a_n+2-a_n+1|=

an+2-an+1 an+1-an+2

≤a_n；
当a_n+1＞a_n时，a_n+2=|a_n+1-a_n|=a_n+1-a_n⇒a_n+3=|a_n+2-a_n+1|=|（a_n+1-a_n）-a_n+1|=|-a_n|=a_n≤a_n，
∴?n∈N⁺，a_n+3≤a_n．
（3）证明如下：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．用反证法，假设数列{a_n}中没有0，所以对任意的n，都有a_n≥1，从而a_n≠a_n+1，定义符号max（a，b，c）为a、b、c中的最大者，max（a，b）为a、b中的较大者，
∵a_n+2=|a_n+1-a_n|，a_n+1≥1，a_n≥1，
∴a_n+2≤max（a_n+1，a_n），
∴max（a_n+2，a_n+1，a_n）≤max（a_n+1，a_n），又∵max（a_n+2，a_n+1，a_n）≥max（a_n+1，a_n+2），
∴max（a_n+2，a_n+1）≤max（a_n+1，a_n），
∴a_n+3=|a_n+2-a_n+1|≤max（a_n+2，a_n+1）-1≤max（a_n+1，a_n）-1，令C_n=max（a_2n-1，a_2n）≥0，n=1，2，3，…
则0＜C_n≤C_n-1-1（n=2，3，4，…），而C₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C_n＜0，这与C_n≥0矛盾，从而{a_n}中必有零项，
记第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即

an+3k=0 an+3k+1=A，k=0，1，2，… an+3k+2=A

所以数列{a_n}中有无穷多个为零的项．

点评：本题考查数列的应用，数列递推关系、突出考查数列与不等式的综合应用，考查反证法，考查抽象思维、创新思维、推理论证能力，属于难题．