Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）设函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞λ•S_k恒成立，试求实数λ的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
（2）由已知得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；当n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）由已知得m²d²+n²d²＞c•k²d²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．由此能求出λ的最大值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
（2）由f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），
可得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1
当n≥3时
c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1
故当n≥3时，T_n=2ⁿ+n．
∴T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

．
（3）∵S_m+S_n＞λS_k，∴m²d²+n²d²＞c•k²d²，
∴m²+n²＞λ•k²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k，且m≠n，2（m²+n²）＞（m+n）²=9k²，
∴

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故λ≤

9

2

，即λ的最大值为

9

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．