Question

△ABC中，顶点A（1，2），B（4，1），点H（

23

7

，

6

7

）为△ABC三条高所在直线的交点．
（1）求顶点C坐标；
（2）设直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）利用点到直线的距离公式、函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设C（x，y），
∵点H（

23

7

，

6

7

）为△ABC三条高所在直线的交点，∴CH⊥AB，AH⊥BC．
∴k_CH•k_AB=k_BH•k_AC=-1，
∴

y- 6 7

x- 23 7

•

2-1

1-4

=-1，

1- 6 7

4- 23 7

•

y-2

x-1

=-1，
化为3x-y-9=0，5x+y-7=0，联立解得

x=2 y=-3

，
∴C（2，-3）．
（2）点A，B，C到l的距离的平方和=(

k+2

k2+1

)2+(

4k+1

k2+1

)2+(

2k-3

k2+1

)2=

21k2+14

k2+1

=21-

7

k2+1

，
∵k²≥0，∴

1

k2+1

≤1，∴21-

7

k2+1

≥14．
直线l：kx+y=0（k∈r），求点A，B，C到l的距离的平方和的取值范围是[14，21）．

点评：本题考查了垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．