Question

定义域为R的函数f（x）=

1(x=1) 1 |x-1| (x≠1)

，若关于x的函数h（x）=f²（x）+bf（x）+

1

2

有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，求x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,数列的求和

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）=

1(x=1) 1 |x-1| (x≠1)

的表达式可对x分x=1与x≠1讨论，由方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，从而可求得则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

解答： 解：①若x=1，f（x）=1，故1²+b+

1

2

=0，b=-

3

2

；
②若x≠1，f（x）=

1

|1-x|

，方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0可化为：（

1

|1-x|

）²-

3

2

•

1

|1-x|

+

1

2

=0，
即（

1

|1-x|

-1）•（2•

1

|1-x|

-1）=0，
∴

1

|1-x|

=1或

1

|1-x|

=

1

2

，
解

1

|1-x|

=1得：x=0或x=2；解

1

|1-x|

=

1

2

得：x=-1或x=3；
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1²+0²+2²+（-1）²+3²=15．
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=15

点评：本题考查函数与方程的综合应用，根的存在性及根的个数判断，关键是通过对x分x=1与x≠1讨论，由方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0分别求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，