Question

已知x，y满足条件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，求：
（1）4x-3y的最大值和最小值；
（2）x²+y²的最大值和最小值；
（3）

y+8

x-5

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）设z=4x-3y，利用z的几何意义的最大值和最小值；
（2）设z=x²+y²，利用z的几何意义，即可最大值和最小值；
（3）设z=

y+8

x-5

，利用z的几何意义最大值和最小值．

解答： 解：（1）不等式组

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

表示的公共区域如图所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
设z=4x-3y，则y=

4

3

x-

z

3

，平移直线y=

4

3

x-

z

3

，
由图象可知当直线y=

4

3

x-

z

3

过C点时，直线y=

4

3

x-

z

3

的截距最大，此时z取得最小值．
当直线y=

4

3

x-

z

3

过B直线y=

4

3

x-

z

3

的截距最小，z取得最大值．．
∴将B（-1，-6），代入z=4x-3y得最大值z=4×（-1）-3×（-6）=14，
将C（-3，2），代入z=4x-3y得最小值，
即z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）设z=x²+y²，则z的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方的取值范围．
由图象可知z的最小值为0，C点到原点的距离为OC=

(-3)2+22

=

9+4

=

13

，
A点到原点的距离OA=

42+1

=

17

，B点到原点的距离为OB=

(-1)2+(-6)2

=

37

，
∴B点距离原点远，
∴0≤z≤OA²，即0≤z≤37，
即x²+y²的最大值为37，最小值为0．（1）最小值为-18，最大值为14（2）最大值为37，最小值为0
（3）设z=

y+8

x-5

的几何意义为区域内的点到定点E（5，-8）的斜率的取值范围，
由图象可知BE的斜率最大，此时最大值为k=

-8+6

5+1

=

-2

6

=-

1

3

，
AE的斜率最小，最小值为k=

-8-1

5-4

=-9．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．