Question

已知函数f（x）=x|x-2|，x∈R．
（1）求不等式-3＜f（x）＜3的解集；
（2）设f（x）在[0，a]上的最大值为g（a），若g(a)＜a+

1

4

，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过分类讨论直接求解不等式的解集即可．
（2）求出函数在[0，a]上的最大值为g（a）的表达式，利用g(a)＜a+

1

4

得到不等式求解即可．

解答：解：（1）由题意不等式-3＜f（x）＜3，化为不等式-3＜x|x-2|＜3，
当x＜2时，不等式为：-3＜2x-x²＜3，即

-3＜2x-x2 2x-x2＜3

，
解得-1＜x＜2；
当x≥2时，不等式-3＜x|x-2|＜3为：-3＜x²-2x＜3，即

-3＜-2x+x2 x2-2x＜3

，
解得：2≤x＜3；
综上不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．
（2）函数f（x）=x|x-2|=

x2-2x    x＞2 2x-x2     x≤2

，
函数f（x）在[0，a]上的最大值为g（a）=

2a-a2   0≤a≤1 1         1＜a≤1+ 2 a2-2a    a＞1+ 2

，
由g(a)＜a+

1

4

，可得：0＜a≤2时，2a-a²＜a+

1

4

，解得：0＜a≤2且a≠

1

2

；
1＜a≤1+

2

时，1＜a+

1

4

，解得：1＜a≤1+

2

，
a≥1+

2

时，a²-2a＜a+

1

4

，解得a＞

3+ 10

2

；
综上a的取值范围是：{a|0＜a＜

1

2

或1＜a≤1+

2

或a＞

3+ 10

2

}

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数与分的综合应用，函数的最大值的求法，考查分类讨论思想的应用．