Question

3．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，且不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$），则x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）可化为：$\frac{1}{3}$＞2x-1＞0，解得答案．

解答 解：∵对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）可化为：
$\frac{1}{3}$＞2x-1＞0，
解得：x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$），
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的判断与证明，其中根据已知分析出函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，是解答的关键．