Question

11．设0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$tan（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{1-sinα}{sinα}$．求α．

Answer 1

分析 由三角函数恒等变化的应用化简已知等式可得sin2α=sin（$\frac{π}{6}$+α），解得α=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z或α=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，k∈Z，结合范围0＜α＜$\frac{π}{2}$，即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$tan（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{1-sinα}{sinα}$．
⇒$\frac{3-\sqrt{3}tanα}{1+\sqrt{3}tanα}$=$\frac{1-sinα}{sinα}$．
⇒3sinα-$\sqrt{3}$sinαtanα=1+$\sqrt{3}$tanα-sinα-$\sqrt{3}$sinαtanα
⇒4sinα=1+$\sqrt{3}$tanα
⇒4sinαcosα=cosα+$\sqrt{3}$sinα
⇒4sinαcosα=2sin（$\frac{π}{6}$+α）
⇒2sinαcosα=sin（$\frac{π}{6}$+α）
⇒sin2α=sin（$\frac{π}{6}$+α）
∴2α=$\frac{π}{6}$+α+2kπ，k∈Z或2α=π-（$\frac{π}{6}$+α）+2kπ，k∈Z，
解得：α=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z或α=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，k∈Z，
又∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴解得：α=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦函数的图象和性质，解题时要注意角的范围，属于基础题．