Question

11．已知函数f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx．
（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）单调递增，求a的取值范围．
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀，0），则f（x₀）=0，f′（x₀）=0解出即可；
（2）求出F（x）的导数，由题意可得3x²+a+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，即有-a≤3x²+$\frac{1}{x}$的最小值，运用导数判断单调性，即可得到所求范围；
（3）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥-$\frac{5}{4}$，a＜-$\frac{5}{4}$，即可得出零点的个数；
当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤-3或a≥0时，②当-3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+a．
设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀，0），
则f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{3}+a{x}_{0}+\frac{1}{4}=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，
因此当a=-$\frac{3}{4}$时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$+lnx，
导数为F′（x）=3x²+a+$\frac{1}{x}$，
由题意可得3x²+a+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，
即有-a≤3x²+$\frac{1}{x}$的最小值，
由3x²+$\frac{1}{x}$的导数为6x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在x≥1递增，
即有最小值为4，
则-a≤4，解得a≥-4；
（3）当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx＜0，
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．
当x=1时，若a≥-$\frac{5}{4}$，则f（1）=a+$\frac{5}{4}$≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，
故x=1是函数h（x）的一个零点；
若a＜-$\frac{5}{4}$，则f（1）=a+$\frac{5}{4}$＜0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，
故x=1不是函数h（x）的零点；
当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx＞0，
因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
①当a≤-3或a≥0时，f′（x）=3x²+a在（0，1）内无零点，
因此f（x）在区间（0，1）内单调，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴当a≤-3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
②当-3＜a＜0时，函数f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）内单调递减，在（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$，1）内单调递增，
故当x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$时，f（x）取得最小值f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{-a}{3}}$+$\frac{1}{4}$．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）＞0，即-$\frac{3}{4}$＜a＜0，则f（x）在（0，1）内无零点．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=0，即a=-$\frac{3}{4}$，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）＜0，即-3＜a＜-$\frac{3}{4}$，由f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴当-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$时，f（x）在（0，1）内有两个零点．
当-3＜a≤-$\frac{5}{4}$时，f（x）在（0，1）内有一个零点．
综上可得：当a＞-$\frac{3}{4}$或a＜-$\frac{5}{4}$时，h（x）有一个零点；
当a=-$\frac{3}{4}$或-$\frac{5}{4}$时，h（x）有两个零点；
当-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$时，函数h（x）有三个零点．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．