Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交与两点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求直线的斜率；

（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，且，求椭圆方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）由，，得，得到的关系式，由此能求出离心率；（2）将椭圆的方程为写为，设直线的方程为，设，，联立方程组，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线的斜率；（3）求出，，取，得，推导出外接圆的方程，与直线的方程联立解出，得，再由，解得，由此能求出椭圆方程．

（1）由且，得，从而

整理，得，故离心率.

（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为

设直线的方程为，即.

由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去整理，得.

依题意，，得.

而 ①

②

由题设知，点为线段的中点，所以

③

联立①③解得

将 代入②中，解得.

（3）由（2）可知.

不妨取，得，由已知得.

线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点的坐标满足方程组

，由，解得

由 解得

故椭圆方程为.