Question

6．设f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数．
（1）当a=$\frac{16}{15}$时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，求解函数的极值点．
（2）通过导数符号不变号，转化为二次函数的判别式恒成立问题，求解即可．

解答 解：（1）对f（x）求导得f′（x）=e^x•$\frac{1+a{x}^{2}-2ax}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
当a=$\frac{16}{15}$时，若f′（x）=0，解得x=$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$．又当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下

x	（-∞，$\frac{3}{4}$）	$\frac{3}{4}$	（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）	$\frac{5}{4}$	（$\frac{5}{4}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	Γ	极大值	Φ	极小值	Γ

∴x₁=$\frac{5}{4}$是极小值点，x₂=$\frac{3}{4}$是极大值点．
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号．
结合（1）与条件a＞0，知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
由△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，得0＜a≤1．即实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值，以及函数的单调性，函数恒成立的应用，考查计算能力．