已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.直线l:y=x+2与以原点为圆心.以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．(Ⅰ)求椭圆C1的方程,(Ⅱ)设椭圆C1的左.右焦点分别为F1.F2.若直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴.动直线l2垂直l1于点P.线段PF2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁、F₂，若直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（i）求点M的轨迹C₂的方程；
（ii）过点F₂作两条相互垂直的直线交曲线C₂于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．

分析（Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得2a²=3b²．再由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，求出a，b，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）（ i）推导出动点M到定直线L₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，从而得到动点M的轨迹C₂是以L₁为准线，F₂为焦点的抛物线，由此能求出点M的轨迹C₂的方程．
（ ii）由题意令AC：y=k（x-1），则：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件能求出四边形ABCD面积的最小值．

解答解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴2a²=3b²．
∵直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，∴b=$\sqrt{2}$，b²=2，∴a²=3．
∴椭圆C₁的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（3分）
（2）（ i）∵|MP|=|MF₂|，
∴动点M到定直线L₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C₂是以L₁为准线，F₂为焦点的抛物线．
∴点M的轨迹C₂的方程为：y²=4x．（7分）
（ ii）由题意可知：直线AC的斜率存在且不为零，F₂（1，0），（8分）
令AC：y=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
由韦达定理知：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
由抛物线定义知：|AC|=|F₂A|+|F₂B|=（x₁+1）+（x₂+1）
=（x₁+x₂）+2=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$+2=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
∵BD⊥AC，∴y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
同样可得：|BD|=$\frac{4[（-\frac{1}{k}）^{2}+1]}{（-\frac{1}{k}）^{2}}$=4（1+k²），
则S_△BCD=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=8•$\frac{（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$=8（${k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2$）≥8（2+2）=32，（当且仅当k²=1时取“=”号）
∴四边形ABCD面积的最小值是：8．（12分）

点评本题考查椭圆方程和点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、抛物线定、椭圆性质、点到直线距离公式的合理运用．

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