Question

16．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，2]时，若函数y=f（x）-m有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）容易看出x增大时f（x）增大，从而得出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数，从而便可得出f（x）的单调区间；
（2）根据（1）便知函数f（x）在[1，2]上单调递增，从而可求出f（x）在[1，2]上的值域，而根据题意知方程m=f（x）有解，从而便得出m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
x在（-∞，0），或（0，+∞）上增大时，$\frac{1}{x}$减小，$-\frac{1}{x}$增大，$x-\frac{1}{x}$增大；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数；
即f（x）的单调区间为（-∞，0），（0，+∞）；
（2）由（1）知f（x）在[1，2]上单调递增；
∴f（x）在[1，2]上的值域为[f（1），f（2）]=[0，$\frac{3}{2}$]；
若函数y=f（x）-m有零点，则m=f（x）有解；
∴m的取值范围为$[0，\frac{3}{2}]$．

点评 考查函数单调性的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，根据函数单调性定义求函数值域，以及函数零点的定义．