Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过椭圆的右焦点F任作一条直线交椭圆C于A，B两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆C于M，N两点．
（Ⅰ）求证：AM与AN的斜率之积为定值；
（Ⅱ）若2a•|AB|=|MN|²，试探究直线AB与直线MN的倾斜角之间的关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，两式相减，得$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由此能证明k_AM•k_AN为定值．
（Ⅱ）当弦AB所在直线的斜率不存在时，MN∥AB，当弦AB，弦MN所在直线的斜率均存在时，设弦AB与弦MN的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则直线AB，MN的方程分别为y=k₁（x-c），y=k₂x，分别与椭圆C联立方程组，求出|AB|和|MN|，推导出弦AB与弦MN所在直线的倾斜角相等或互补．

解答 证明：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减，得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=0，即$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，${k}_{AN}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴k_AM•k_AN=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$为定值．
解：（Ⅱ）当弦AB所在直线的斜率不存在时，|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴|MN|=2b，∴弦MN为此椭圆的短轴，
此时，MN∥AB，
当弦AB，弦MN所在直线的斜率均存在时，
不妨设弦AB与弦MN的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
则直线AB，MN的方程分别为y=k₁（x-c），y=k₂x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-c）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，
得$（{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}-2{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}c{y}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}{{k}_{1}}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{c}^{2}{{k}_{1}}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}）^{2}-4•\frac{{a}^{2}{c}^{2}{{k}_{1}}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{a}^{2}{b}^{4}（1+{{k}_{1}}^{2}）}{（{b}^{2}+{a}^{2}{k}_{1}）^{2}}}$=$\frac{（1+{{k}_{1}}^{2}）•2a{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，
得$（{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}）{x}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=0，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$
=$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•$\sqrt{0-4•\frac{-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}}$
=2ab•$\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}_{1}{\;}^{2}}}$，
∵|AB|=$\frac{|MN{|}^{2}}{2a}$，即2a•$\frac{（1+{{k}_{1}}^{2}）•2a{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}_{1}{\;}^{2}}$=4a²b²•$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$，
即2a•$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$=4a²b²•$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$，
即$（{a}^{2}-{b}^{2}）{{k}_{1}}^{2}$=（a²-b²）${{k}_{2}}^{2}$，
∵a＞b，∴${{k}_{1}}^{2}={{k}_{2}}^{2}$，∴k₁=±k₂，
∴弦AB与弦MN所在直线的倾斜角相等或互补，
∴弦AB与弦CD的斜率有一个存在，一个不存在时，满足题意．

点评 本题考查AM与AN的斜率之积为定值的证明，考查直线AB与直线MN的倾斜角之间的关系的探究，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．