Question

15．有穷数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2^n-1所有项的和为2ⁿ⁺¹-n-2．

Answer 1

分析 求出数列的通项公式，然后化简1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2^n-1，…为，一个等比数列，一个等差数列，分别求和即可．

解答 解：因为1+2+4+…+2^n-1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
所以s_n=1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+4+…+2^n-1）
=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n
=2ⁿ⁺¹-n-2
故答案为：2ⁿ⁺¹-n-2．

点评 本题是基础题，考查数列求和的知识，考查计算能力，注意数列求和，一般情况下是研究数列的通项公式，常考题型．