Question

14．已知圆C过点A（2，-1），B（0，-3），且圆心在直线y=-2x上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（Ⅲ）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值时的P点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据斜率公式和中点坐标公式，集合条件求出AB的斜率k和中点坐标，由直线垂直的条件、点斜式方程求出线段AB中垂线的方程，由题意联立两直线的方程求出圆心C的坐标，利用两间点的距离公式求出半径，可得所求圆的标准方程；
（Ⅱ）由题意和截距式方程设出切线的方程，利用点到直线的距离公式、圆的切线条件列出方程，可得切线的方程；
（Ⅲ）由切线的性质得PM⊥CM，由条件和勾股定理列出方程，化简后可得动点P的轨迹方程，由条件知|PM|的最小值就是|PO|的最小值，即为原点O到直线2x+4y+5=0的距离，由直线垂直求出PO的方程，联立后求出此时P点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵点A（2，-1）、B（0，-3），
∴直线AB的斜率为k=$\frac{-1-（-3）}{2-0}$=1，线段AB的中点为（1，-2），
则线段AB垂直平分线的方程为y+2=-（x-1），化简得y=-x-1，
∵点A、B在圆上，且圆心在直线y=-2x上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-2x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，则圆心C为（1，-2），
∴圆的半径为r=|BC|=$\sqrt{{1}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=2；
（Ⅱ）由截距不为零设切线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0，
∵直线l与圆C相切，∴$\frac{|1-2-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得a=1或a=-3，
∴此切线方程是x+y-1=0或x+y+3=0；
（Ⅲ）由题意得，PM⊥CM，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，∴|PO|²=|PC|²-|CM|²，
则（x₁-1）²+（y₁+2）²-2=x₁²+y₁²，化简得2x₁-4y₁-3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y-3=0，
又|PM|=|PO|，则|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
∴|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y-3=0的距离，此时直线PO的方程为2x+y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y-3=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{10}}\\{y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴此时P点的坐标是（$\frac{3}{10}$，$-\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查圆的方程求法，直线与圆的位置关系判断方法，圆的切线的性质，点到直线的距离公式等，考查方程思想，化简、变形能力．