Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a=4\sqrt{2}}\\{b=c}\end{array}\right.$，
又∵a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，
此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，
∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，
∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆C有两个公共点，
∴△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
设EF的中点G（x₀，y₀），
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=\frac{m}{2{k}^{2}+1}$，
∴G（$\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$），
∴|DG|=$\sqrt{（\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}）^{2}+（\frac{{m}^{2}}{2{k}^{2}+1}+{m}^{2}）}$=$\frac{m\sqrt{4{k}^{2}+12{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$，
|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$，
∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，
∴|DG|＜$\frac{|EF|}{2}$对于k∈R恒成立，
∴$\frac{m\sqrt{4{k}^{2}+12{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$$＜\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$，
化简，得2m²k⁴+7m²k²+3m²＜2k⁴+3k²+1，
整理，得${m}^{2}＜\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+3}$，
而g（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+3}$=1-$\frac{2}{{k}^{2}+3}$≥1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
当且仅当k=0时，等号成立，
∴m²$＜\frac{1}{3}$，由m＞0，．解得0＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．