Question

19．在三棱锥A-BCD中，AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠BCD=90°，且面ABD⊥面BCD，给出下列结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与面BCD成60°角；
④AB与CD成60°角．
其中正确的是①②．

Answer 1

分析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO．不妨设AD=2．
①取BD的中点，连接OA，OC．利用等腰三角形的性质可得：AO⊥BD，CO⊥BD，再利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论；
②由已知可得OA=OC═OB=OD=$\sqrt{2}$，AO⊥平面BCD，利用勾股定理可得AC=2，即可判断出正误．
③由②可得：AO⊥平面BCD，因此∠ABO=45°是AB与平面BCD所成的角，即可判断出正误；
④分别取AD，BC的中点E，F，连接OE，OF，EF．可得OE∥AB，OF∥CD，∠EOF或其补角是异面直线AB与CD所成的角，OE=OF=1，利用余弦定理、勾股定理即可得出．

解答 解：如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO．不妨设AD=2．
①取BD的中点，连接OA，OC．∵AB=AD=CB=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又OA∩OC=O，∴BD⊥平面OAC，AC?平面OAC，∴AC⊥BD，正确；
②∵AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠BCD=90°，∴OA=OC═OB=OD=$\sqrt{2}$，由①可得：AO⊥平面BCD，∴AO⊥OC，∴AC=2，
∴△ACD是等边三角形，正确；
③由②可得：AO⊥平面BCD，∴∠ABO=45°，是AB与平面BCD所成的角，因此不正确；
④分别取AD，BC的中点E，F，连接OE，OF，EF．则OE∥AB，OF∥CD，∴∠EOF或其补角是异面直线AB与CD所成的角，OE=OF=1．
在平面ABD内过点E作EM⊥BD，垂足为M，连接FM，则EM⊥平面BCD，∴EM⊥FM，FM²=${1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}-2×1×\frac{1}{2}$×cos135°=$\frac{5+2\sqrt{2}}{4}$．
EF²=EM²+FM²=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$\frac{5+2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{7+2\sqrt{2}}{4}$．∴cos∠EOF=$\frac{1+1-\frac{5+2\sqrt{2}}{4}}{2×1×1}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{8}$，因此∠EOF不是60^°或120^°，因此不正确．
综上可得：正确的是①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等边三角形与等腰三角形的性质、异面直线所成的角、余弦定理勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．