在平面直角坐标系xOy中.已知圆C1:(x-4)2+(y-5)2=4和圆C2:(x+3)2+(y-1)2=4(1)若直线l1过点A(2.0).且与圆C1相切.求直线l1的方程,(2)若直线l2过点B(4.0).且被圆C2截得的弦长为2$\sqrt{3}$.求直线l2的方程,(3)直线l3的方程是x=$\frac{5}{2}$.证明:直线l3上存在点P.满足过P的无穷多对互相垂直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-4）²+（y-5）²=4和圆C₂：（x+3）²+（y-1）²=4
（1）若直线l₁过点A（2，0），且与圆C₁相切，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₂过点B（4，0），且被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l₂的方程；
（3）直线l₃的方程是x=$\frac{5}{2}$，证明：直线l₃上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l₄和l₅，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₄被圆C₁截得的弦长与直线l₅被圆C₂截得的弦长相等．

分析（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l₁的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），再利用圆C₂的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（3）设出过P点的直线l₄与l₅的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径，及直线l₄被圆C₁截得的弦长与直线l₅被圆C₂截得的弦长相等，可得⊙C₁的圆心到直线l₄的距离与圆C₂的圆心到直线l₅的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0．
圆心到直线的距离为$\frac{|2k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{21}{20}$，∴直线l₁的方程y=$\frac{21}{20}$（x-2）；
直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，
综上所述，直线l₁的方程为y=$\frac{21}{20}$（x-2）或x=2；
（2）解：设直线l₂的方程为y=k（x-4），被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
∴圆C₂的圆心到l的距离为1．
由点到直线l的距离公式得d=$\frac{|-7k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=0或-$\frac{7}{24}$，
所以直线l的方程为y=0或y=-$\frac{7}{24}$（x-4）；
（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l₄的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₅方程为：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a），
∵⊙C₁的圆心坐标为（4，5），半径r₁=2，
⊙C₂的圆心坐标为（-3，1），半径为r₂=2，圆心距O₁0₂=3，
∵直线l₄被圆C₁截得的弦长与直线l₅被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₄的距离与圆C₂的圆心到直线l₅的距离相等，
∴$\frac{|（4-a）k+b-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|（1-b）k-3-a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
整理得k（3-a+b）+b+a-2=0或（5-b-a）k-a+b-8=0，
∵k的取值有无穷多个，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a+b=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{5-b-a=0}\\{b-a-8=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$
∴直线l₃的方程是x=$\frac{5}{2}$，直线l₃上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l₄和l₅，
它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₄被圆C₁截得的弦长与直线l₅被圆C₂截得的弦长相等．

点评本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．

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