Question

15．已知矩形ABCD的顶点C（4，4），点A在圆O：x²+y²=9（x≥0，y≥0）上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴，求矩形ABCD面积S的最小值与最大值，以及相应的点A的坐标．

Answer 1

分析 设A（3cosα，3sinα）（0°≤α≤90°），表示出面积，利用导数，研究函数的最值．

解答 解：设A（3cosα，3sinα）（0°≤α≤90°），则
矩形ABCD面积S=（4-3cosα）•（4-3sinα），
S′=12sinα+12cosα-9=12$\sqrt{2}$sin（α+45°）-9，
∵0°≤α≤90°，
∴45°≤α+45°≤135°，
∴α+45°=90°，即α=45°，S_max=$\frac{41}{2}$-3$\sqrt{2}$，A（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）；
α+45°=45°或135°，即α=0°或90°，S_min=4，A（3，0）或（0，3）．

点评 本题考查圆的方程，考查面积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题．