Question

3．已知函数f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（其中x₁＜x₂＜x₃），g（x）=e^x-e^-x，且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，μ=$\frac{{{x}_{2}+x}_{3}}{2}$，则（　　）

• A． g（α）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ）
• B． g（λ）＜g（α）＜g（β）＜g（μ）
• C． g（λ）＜g（α）＜g（μ）＜g（β）
• D． g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）

Answer 1

分析 结合一元二次函数的性质判断α＜λ＜μ＜β，判断函数g（x）的单调性进行判断即可．

解答 解：由题意，f′（x）=（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₂）（x-x₃）+（x-x₁）（x-x₃），
∵f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{4}$＜0，f′（$\frac{{{x}_{2}+x}_{3}}{2}$）=-$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{4}$＜0，
∵f（x）在（-∞，α），（β，+∞）上递增，（α，β）上递减，
∴α＜λ＜μ＜β，
∵g（x）=e^x-e^-x单调递增，
∴g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，以及a＜λ＜μ＜β是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．