Question

12．正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，GE=GF=$\frac{1}{2}$SB，即可得出．

解答 解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，BD=2$\sqrt{2}$，SB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴轨迹的周长为 $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正四棱锥的性质、三角形中位线定理、勾股定理、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．