Question

17．以正四面体各面中心为顶点的新四面体的棱长是原四面体棱长的（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 利用正四面体的性质、等边三角形中心的性质、平行线分线段成比例的性质即可得出．

解答 解：如图所示，正四面体P-ABC，点E，F分别是侧面PAC，PBC的中心，
延长PE交AC于点M，延长PF交BC于点N，
则点M，N分别是AC，BC的中点．
由等边三角形中心的性质可得：$\frac{EF}{MN}$=$\frac{PE}{PM}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
∴以正四面体各面中心为顶点的新四面体的棱长是原四面体棱长的$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正四面体的性质、等边三角形中心的性质、平行线分线段成比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．