Question

8．已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为$-\frac{3}{4}$．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），通过K_AM•K_BM=-$\frac{3}{4}$，即可求出所在的曲线C的方程．
（2）求出$P（1，\frac{3}{2}）$，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程$y=\frac{1}{2}x+b$代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S_△OQR，求解最值．

解答 解：（1）设点M（x，y），
∵K_AM•K_BM=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，
整理得点所在的曲线C的方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;（x≠±2）$．
（2）由题意可得点$P（1，\frac{3}{2}）$，
直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为$y=k（x-1）+\frac{3}{2}$，
与椭圆方程联立消去y，得：（4k²+3）x²+（12k-8k²）x+（4k²-12k-3）=0，
由于x=1是方程的一个解，
所以方程的另一解为${x_Q}=\frac{{4{k^2}-12k-3}}{{4{k^2}+3}}$，同理${x_R}=\frac{{4{k^2}+12k-3}}{{4{k^2}+3}}$，
故直线RQ的斜率为${k_{RQ}}=\frac{{{y_R}-{y_Q}}}{{{x_R}-{x_Q}}}=\frac{{-k（{x_R}-1）+\frac{3}{2}-k（{x_Q}-1）-\frac{3}{2}}}{{{x_R}-{x_Q}}}=\frac{{-k（\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}-2）}}{{\frac{24k}{{4{k^2}+3}}}}=\frac{1}{2}$，
把直线RQ的方程$y=\frac{1}{2}x+b$代入椭圆方程，消去y整理得x²+bx+b²-3=0，
所以|PQ|=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}×\frac{\sqrt{{b}^{2}-4（{b}^{2}-3）}}{1}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}×\sqrt{4-{b}^{2}}$
原点O到直线RQ的距离为$d=\frac{{\left|{2b}\right|}}{{\sqrt{5}}}$，
S_△OQR=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\sqrt{4-{b}^{2}}×\frac{|2b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{{b}^{2}（4-{b}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{{b}^{2}+（4-{b}^{2}）}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．