Question

18．如图，在△ABC中，已知CD=2DB，BA=5BE，AF=mAD，AG=tAC．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AD}$；
（2）设$\frac{1}{3}$≤m≤$\frac{1}{2}$，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由CD=2DB，根据三点共线的充要条件，可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AD}$；
（2）由CD=2DB，BA=5BE，AF=mAD，AG=tAC，可得：$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），即$\overrightarrow{AF}$=$\frac{5m}{6}$$\overrightarrow{AE}$+$\frac{m}{3t}$$\overrightarrow{AG}$，根据三点共线的充要条件，向量的加减运算，代入计算即可．

解答 解：（1）∵CD=2DB，B，D，C三点共线，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
又∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
（2）根据题意得，$\overrightarrow{AB}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{m}$$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$①
∴$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），②
将①代入②，化简得，
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{5m}{6}$$\overrightarrow{AE}$+$\frac{m}{3t}$$\overrightarrow{AG}$，
由于E，F，G三点共线，
∴$\frac{5m}{6}$+$\frac{m}{3t}$=1，
∴t=$\frac{2m}{6-5m}$，
∵$\frac{1}{3}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{13}$≤t≤$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了向量的加减混合运算，关键是E，F，G三点共线，得到t含有m的表达式．