已知椭圆Γ:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F1.F2.点T在椭圆Γ上.且|TF1|+|TF2|=8．(1)求椭圆的方程,(2)点P.Q在椭圆Γ上.O为坐标原点.且直线OP.OQ的斜率之积为$\frac{1}{4}$.求证:|OP|2+|OQ|2为定值,且与椭圆Γ交于A.B两点.问在x轴上是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点T（-2，$\sqrt{3}$）在椭圆Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P，Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为$\frac{1}{4}$，求证：|OP|²+|OQ|²为定值；
（3）直线l过点（-1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由点T（-2，$\sqrt{3}$）在椭圆Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线OP：y=kx，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，求出|OP|²，同理求出|OQ|²，由此能证明|OP|²+|OQ|²为定值．
（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k²x+（4k²-16）=0，推导出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，当l与x轴垂直时，l：x=-1，A（-1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$），从而$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，由此能求出结果．

解答解：（1）∵椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
点T（-2，$\sqrt{3}$）在椭圆Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=8}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
证明：（2）设直线OP：y=kx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x=$±\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴|OP|²=${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又直线OQ：$y=\frac{1}{4k}x$，
同理，得|OQ|²=$\frac{16+16（\frac{1}{4k}）^{2}}{1+4（\frac{1}{4k}）^{2}}$=$\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²+|OQ|²=$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{20+80{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=20，为定值．
解：（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k²x+（4k²-16）=0，
又$\overrightarrow{MA}$=（x₁-t，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-t，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）+k（x₁+1）•k（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+（k²+t²）=$\frac{（{t}^{2}-16）+（4{t}^{2}+8t-11）{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
令$\frac{{t}^{2}-16}{1}=\frac{4{t}^{2}+8t-11}{4}$，得t=-$\frac{53}{8}$，此时$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，
当l与x轴垂直时，l：x=-1，A（-1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
又M（-$\frac{53}{8}$，0），∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，
综上，M（-$\frac{53}{8}$，0），$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查代数式为定值的证明，考查满足向量的数量积为定值的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

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