Question

10．如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为$\sqrt{10}$，点O为底面ABCD的中心．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若E为PC中点，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质、等腰三角形的性质可得AC⊥BD，PO⊥BD，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出．
（2）在△PBC中，利用中线长定理即可得出．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD，
∵PB=PD，OB=OD，∴PO⊥BD，
又BD∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴PA⊥BD．
（2）解：设BE=m，在△PBC中，
由中线长定理，$（\sqrt{10}）^{2}$+2²=2m²+2×$（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}$，解得m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．