Question

1．设a，b∈R，若矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{0}\end{array}）$的变换把直线l：x+y-1=0变换为另一直线l′：x+2y+l=0．
（1）求a，b的值．
（2）求矩阵A的特征值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知根据矩阵的变换$（\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{x+ay}\\{bx}\end{array}）$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx}\end{array}\right.$，将x′，y′代入直线l′：x+2y+l=0．列方程求得a和b的值；
（2）由（1）求得矩阵A，写出A的特征矩阵及特征多项式，令f（λ）=0，即可解得特征值．

解答 解：（1）设直线l：x+y-1=0的点P（x，y）在变换作用下变成P′（x′，y′），
则$（\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{x+ay}\\{bx}\end{array}）$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx}\end{array}\right.$，
P′（x′，y′）在直线l′：x+2y+l=0．
所以x+ay+2bx+l=0．
即（2b+1）x+ay+1=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2b+1=-1}\\{a=-1}\end{array}\right.$，解得：a=b=-1；
（2）由（1）知矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{-1}&{0}\end{array}）$，
特征矩阵为$（\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{1}&{λ}\end{array}）$，
特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{1}&{λ}\end{array}|$=λ²-λ-1，
令f（λ）=0，解得：λ₁=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，λ₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
矩阵A的特征值λ₁=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，λ₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，．

点评 本题考查矩阵的变换，考查二阶矩阵的乘法，矩阵特征值的求法，考查计算能力，属于中档题．