Question

2．已知函数f（x）=lnx+1．
（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）≤x；
（Ⅱ）设$g（x）=ax+（{a-1}）•\frac{1}{x}-lnx-1$，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先构造函数m（x）=lnx+1-x，然后求导，根据导数符号即可求出函数m（x）的最大值为0，即得到m（x）≤0，从而证得f（x）≤x；
（Ⅱ）根据x＞0，$ax+（a-1）•\frac{1}{x}-lnx-1≥0$便可解得$a≥\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$，而根据上面知lnx+1≤x恒成立，从而便可求得$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$的最大值，进而即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：构造函数m（x）=f（x）-x=lnx+1-x，$m'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=0（{x＞0}）$得x=1；
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0；
∴[m（x）]_max=m（1）=0；
∴m（x）≤0；
∴f（x）≤x；
（Ⅱ）若g（x）≥0对x＞0恒成立等价于$a≥\frac{{lnx+1+\frac{1}{x}}}{{x+\frac{1}{x}}}$对x＞0恒成立；
记$G（x）=\frac{{lnx+1+\frac{1}{x}}}{{x+\frac{1}{x}}}$，问题等价于a≥G（x）_max；
由（Ⅰ）知lnx+1≤x（当且仅当x=1时取得等号）；
∴$G（x）=\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{x+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}=1$（当且仅当x=1时取得等号）；
故G（x）_max=1，所以a≥1；
∴实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评 考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号求函数最值的方法和过程，不等式的性质，在解决第二问时能用上第一问的结论很巧妙．