Question

8．已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件
①x＞0时，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$；②f（1）=$\frac{1}{2}$；③f（2x）=2f（x）
则不等式$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²的解集为（　　）

• A． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． （-$\frac{1}{4}$，0）∪（0，$\frac{1}{4}$）
• D． ∅

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，依题意，可分析得到F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²?$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），从而可得答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，则F′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵x＞0时，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$为偶函数，
∴F（x）在（-∞，0）上单调递增，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2x）=2f（x），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$，
∴F（$\frac{1}{4}$）=$\frac{f（\frac{1}{4}）}{{（\frac{1}{4}）}^{3}}$=8，
∴$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²?$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），故|x|＞$\frac{1}{4}$，
解得：x∈（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$是关键，也是难点，考查分析、推理与逻辑思维能力，属于难题．