Question

2．已知t为常数，函数f（x）=x²+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），则（　　）

• A． f（b）＞$\frac{1-2ln2}{4}$
• B． f（b）＜$\frac{1-2ln2}{4}$
• C． f（b）＞$\frac{3+2ln2}{8}$
• D． f（b）＜$\frac{4+3ln2}{8}$

Answer 1

分析 b是方程g（x）=0的根，将t用b表示，消去b得到关于t的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=x²+tln（1+x），
∴f′（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x+t}{1+x}$（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+t，函数的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，g（-1）＞0．
∵函数f（x）=x²+tln（x+1）有两个极值点a，b（a＜b），
∴g（0）=t＞0，-$\frac{1}{2}$＜b＜0，t=-（2b²+2b），
∴f（b）=b²+tln（1+b）=b²-（2b²+2b）ln（1+b）．
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-$\frac{1}{2}$），
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）当x∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[-$\frac{1}{2}$，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
∴x∈（-$\frac{1}{2}$，0），h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$；
故f（b）=h（b）＞$\frac{1-2ln2}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．