Question

14．在平行四边形ABCD中，AC与DB交于点O，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{BD}$；
（Ⅱ）若E为DO的中点，$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平行四边形对边平行且相等，利用平面向量的线性表示，即可求出结果；
（Ⅱ）根据平面向量的线性运算与线性表示，即可求出λ与μ的值．

解答 解：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AC与DB交于点O，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$；
（Ⅱ）当E为DO的中点时，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$，
所以$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，
所以λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$，
∴λ+μ=1．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与线性表示的应用问题，是基础题目．