Question

19．已知x₁，x₂是方程x²-3x+1=0的两个实根，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=7．x${\;}_{1}^{3}$+8x₂=21．

Answer 1

分析 根据已知结合韦达定理可得x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，进而可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$，x${\;}_{1}^{3}$+8x₂的值．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-3x+1=0的两个实根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=3，
x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=x${\;}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=7，
x${\;}_{1}^{3}$+8x₂=x${\;}_{1}^{3}$+[（x₁+x₂）²-x₁•x₂]x₂=x${\;}_{1}^{3}$+x₁²•x₂+x₁•x₂²+x₂³=（x₁+x₂）³-2（x₁+x₂）•x₁•x₂=27-2×3×1=21，
故答案为：3，7，21

点评 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），转化思想，难度中档．