Question

9．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M是棱AB上异于点A的一点，点P是平面ABCD内的一动点，且点P到直线A₁D₁的距离的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹形状为（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 抛物线

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），M（2，t，0）（t∈（0，2]）．过点P作PE⊥AD交AD于点E，过点E作EQ⊥A₁D₁交于点Q，则PE=y，EQ=2．根据点P到直线A₁D₁的距离的平方比到点M的距离的平方大4，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设P（x，y，0），M（2，t，0）（t∈（0，2]）．
过点P作PE⊥AD交AD于点E，过点E作EQ⊥A₁D₁交于点Q，
则PE=y，EQ=2．
∵点P到直线A₁D₁的距离的平方比到点M的距离的平方大4，
∴y²+4=（x-2）²+（y-t）²，化为：（x-2）²=2t（y-t），（y＞t）．
∴点P的轨迹形状为抛物线．
故选：D．

点评 本题考查了正方体的性质、圆锥曲线的定义、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．