Question

17．（实验班）设动点P（x，y）到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比到y轴的距离大$\frac{1}{2}$．记点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设圆M过A（1，0），且圆心M在P（x≥0）的轨迹上，BD是圆M在y轴上截得的弦，当圆心M运动时弦长BD是否为定值？说明理由；
（3）过F（$\frac{1}{2}$，0）作互相垂直的两直线交曲线C（x≥0）于G、H、R、S，求四边形GRHS面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由两点间距离公式和点到直线的距离公式得到$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-0）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=|x|，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设圆心M（$\frac{{a}^{2}}{2}$，a），半径r=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{2}）^{2}+{a}^{2}}$，由此得到圆的方程，从而得到弦长|BD|为定值．
（3）设过F的直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，由此利用韦达定理、两点间距离公式能求出四边形GRHS面积的最小值．

解答 解：（1）∵设动点P（x，y）到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比到y轴的距离大$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-0）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=|x|，
当x≥0时，整理得y²=2x，
当x＜0时，整理，得y²=0．
∴点P的轨迹方程为${y}^{2}=\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）∵圆心M在抛物线y²=2x上，可设圆心M（$\frac{{a}^{2}}{2}$，a），半径r=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{2}）^{2}+{a}^{2}}$，
圆的方程为（x-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+（y-a）²=（1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+a²，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），∴|BD|=2，∴弦长|BD|为定值．
（3）设过F的直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
由韦达定理得${x}_{1}+{x}_{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$，
∴|GH|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
同理|RS|=2+2k²．
∴四边形GRHS的面积T+$\frac{1}{2}（2+\frac{2}{{k}^{2}}）（2+2{k}^{2}）$=2（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≥8，
即四边形GRHS面积的最小值为8．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长是否为定值的判断与求法，考查四边形面积的最小值的求法，是中档题，注意韦达定理、两点间距离公式的合理运用．