Question

6．已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P-ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a²=h（2-h），四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$×4a²h=$\frac{2}{3}$h²（2-h），变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a²=h（2-h），
四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$×4a²h=$\frac{2}{3}$h²（2-h）=$\frac{1}{3}hh（4-2h）$≤$\frac{1}{3}（\frac{h+h+4-2h}{3}）^{3}$=$\frac{64}{81}$，
当且仅当h=4-2h，即h=$\frac{4}{3}$时，四棱锥P-ABCD的体积最大，
故选：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了球的性质、射影定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．