Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线y²=8x的焦点是该椭圆C的一个顶点，直线l：y=k（x+1）（k＞0）与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段AB的中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求直线l的斜率以及弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得a=2，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）将y=k（x+1）代入椭圆方程x²+4y²=4，运用韦达定理和中点坐标公式，可得斜率k，再由弦长公式可得弦长|AB|．

解答 解：（1）抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
即椭圆C的一个顶点为（2，0），则a=2，
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）将y=k（x+1）代入椭圆方程x²+4y²=4，可得：
（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
△=（8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）＞0恒成立，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由线段AB的中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，
可得x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-1，
解得k=±$\frac{1}{2}$，
由k＞0，可得k=$\frac{1}{2}$；
弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{1-4×\frac{-3}{2}}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用抛物线的焦点坐标和离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．