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    3．在△ABC中，D为AC上一点，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，P为BD上一点，且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是（　　）
    A．10B．9C．8D．11

    分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，根据三点共线得出m，n的关系，利用基本不等式得出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

    解答 解：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AD}$．
    ∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AD}$，
    ∵B，P，D三点共线，∴m+4n=1．
    ∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+4n}{m}+\frac{m+4n}{n}$=$\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}$+5≥2$\sqrt{4}$+5=9，
    当且仅当$\frac{4n}{m}=\frac{m}{n}$时取等号．
    故选：B．

    点评 本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．

    练习册系列答案
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    13．已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A，B两点，定点P的坐标为（-3，0）．
    （1）若点D（0，3），求△APB的正切值；
    （2）当点D在y轴上运动时，求tan∠APB的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．在平行四边形ABCD中，AC与DB交于点O，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
    （Ⅰ）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{BD}$；
    （Ⅱ）若E为DO的中点，$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，求λ+μ的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    11．证明不等式：
    （1）当x∈[-1，0]时，求证：$\frac{1+x}{1-x}$≤e2x≤$\frac{1}{（1-x）^{2}}$；
    （2）已知函数f（x）=xlnx，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为236，则该校高三年级的男生总数为（　　）
    A．800B．960C．944D．888

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．过点（2，3）的直线l与圆 C：x2+y2+4x+3=0交于A，B两点，当弦|AB|取最大值时，直线l的方程为（　　）
    A．3x-4y+6=0B．3x-4y-6=0C．4x-3y+8=0D．4x+3y-8=0

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）（x＜0）}\\{g（x）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，若f（x）是奇函数，则g（3）=-3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图：A，B，C是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆过点$（{2\sqrt{3}，1}）$．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：$2{k_1}=k+\frac{1}{2}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．已知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{lnx}$在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）
    （Ⅰ）求函数f（x）在[${e^{\frac{1}{4}}}$，e]上的最值；
    （Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）-x在$[\frac{1}{e}，1）∪（1，{e^2}]$上有两个零点，求实数t的取值范围．

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