Question

10．已知椭圆C：x²+2y²=4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，用坐标表示后，把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等，写出直线AB的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等，说明直线AB与圆x²+y²=2相切．

解答 解：（1）椭圆C：x²+2y²=4，即为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）直线AB与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即tx₀+2y₀=0，
解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
当x₀=t时，y₀=-$\frac{1}{2}$t²，代入椭圆C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直线AB的方程为x=±$\sqrt{2}$，
圆心O到直线AB的距离d=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线AB的方程为y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$．
又x02+2y02=4，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
故d=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，属于难题．