Question

19．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）证明：${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，即可求实数a，b的值；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）证明e^x≥x+1．取x=-$\frac{i}{2n}$，i=1，3，…，2n-1，得1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，即（$\frac{2n-i}{2n}$）ⁿ≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，利用累加法，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
∴f′（1）=e-a，
∵f（1）=e-a-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-a-1）=（e-a）（x-1），即y=（e-a）x-1，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，
∴e-a=2，b=-1，
∴a=e-2，b=-1；
（Ⅱ）解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a
∴a≤1时，函数在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0；
a＞1时，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，
∴函数在[0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，
∴x=lna时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（lna）=a-alna-1；
（Ⅲ）证明：设t（x）=e^x-x-1，
则t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．
∴t（x）最小值为t（0）=0，故e^x≥x+1．
取x=-$\frac{i}{2n}$，i=1，3，…，2n-1，得1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，即（$\frac{2n-i}{2n}$）ⁿ≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，
累加可得$（\frac{1}{2n}）^{n}$+$（\frac{3}{2n}）^{n}$+…+$（\frac{2n-1}{2n}）^{n}$≤${e}^{-\frac{2n-1}{2}}$+…+${e}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}（1-{e}^{-n}）}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$，
∴${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，综合性强，难度大，解答的关键是合理地运算导数性质进行等价转化，是压轴题．