Question

9．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，则AA₁与底面ABCD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接AC，BD相交于点O．由平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，可得：△AA₁B，△AA₁D，△ABD，都是等边三角形．△A₁BD是等边三角形．利用等边三角形、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出平面AA₁C⊥平面ABCD，因此∠A₁AC是AA₁与底面ABCD所成角．

解答 解：如图所示，连接AC，BD相交于点O．
∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，
∴△AA₁B，△AA₁D，△ABD，都是等边三角形．
∴△A₁BD是等边三角形．
∴AC⊥BD，A₁O⊥BD，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥平面AA₁C，
∴平面AA₁C⊥平面ABCD，
∴∠A₁AC是AA₁与底面ABCD所成角．
AA₁=1，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=A₁O，
cos∠A₁AO=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平行六面体的性质、菱形的性质、等边三角形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、空间角，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．