Question

14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-4x+2y=0．若直线y=3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是-17≤b≤3．

Answer 1

分析 由题意可得圆心为C（2，-1），半径r=$\sqrt{5}$，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=3x+b的距离小于或等于PC=$\sqrt{10}$，由点到直线的距离公式列式求得实数b的取值范围．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+2y=0化为（x-2）²+（y+1）²=5，
圆心C（2，-1），半径为r=$\sqrt{5}$，如图，
设两个切点分别为A、B，
则由题意可得四边形PACB为正方形，
故有PC=$\sqrt{2}r=\sqrt{10}$，
∴圆心到直线y=3x+b的距离小于或等于PC=$\sqrt{10}$，
即$\frac{|3×2-1×（-1）+b|}{\sqrt{10}}≤\sqrt{10}$，解得-17≤b≤3．
故答案为：-17≤b≤3．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．