Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+y²=4和直线l：14x+8y-23=0．
（1）求圆C₁关于直线l对称的圆C₂的方程；
（2）设P为平面上的点，且存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出C₁关于直线l对称的C₂的坐标，即可求圆C₁关于直线l对称的圆C₂的方程；
（2）设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，可得⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答 解：（1）设C₂（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+3}•（-\frac{7}{4}）=-1}\\{14×\frac{a-3}{2}+8×\frac{b}{2}-23=0}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=4，
∴圆C₂的方程：（x-4）²+（y-4）²=4；
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即$\frac{|-k（3+a）+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k（4-b）+4-a|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
整理得|-k（3+a）+b||=|k（4-b）+4-a|
∴-k（3+a）+b=±[k（4-b）+4-a]，
即k（-a+b-7）=a+b-4或（-a-b+1）k=-a+b+4
因k的取值有无穷多个，所以$\left\{\begin{array}{l}{-a+b-7=0}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a-b+1=0}\\{-a+b+4=0}\end{array}\right.$
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{11}{2}$或a=$\frac{5}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，
这样的点只可能是点P₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{2}$）或点P₂（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）

点评 本题考查圆的方程，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．