Question

18．已知：圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（m+1）x+（2m+1）y-7m-4=0．
求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；
（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．

Answer 1

分析 （1）把已知直线方程变形，得到m（x+2y-7）+x+y-4=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$求得定点P的坐标；
（2）把P的坐标代入圆的方程，可得P在圆内部，则直线l与圆恒有两个交点；
（3）由题意可知，当直线l⊥CP时，直线l被圆M截得的弦长最小，由此求得弦长最小时的直线方程．

解答 解：（1）由直线l：（m+1）x+（2m+1）y-7m-4=0，
得m（x+2y-7）+x+y-4=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线l恒过定点P的坐标为（1，3）；
证明：（2）∵（1-1）²+（3-2）²=1＜25，
∴点P在圆C：（x-1）²+（y-2）²=25内，
故不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
解：（3）当直线l⊥CP时，直线l被圆M截得的弦长最小，
∵P（1，3），C（1，2），
∴直线CP的斜率不存在，
则k_l=0，直线l的方程为y=3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了直线系方程的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．