Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆上的点到直线$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距离的最大值为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，倾斜角为45°的直线l交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M（4，1），当直线l不过点M时，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆上的点到直线$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距离的最大值为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$得，5x²+8mx+4m²-20=0，要证直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形，只要证明直线MA，MB的斜率互为相反数，由此能证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又椭圆上的点到直线$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距离的最大值为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，
∴$a+\frac{{5\sqrt{5}}}{2}=\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，则$a=2\sqrt{5}$，∴$c=\sqrt{15}$，…（3分）
b²=a²-c²=20-15=5，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$． …（5分）
证明：（2）由题设知，设直线l的方程为y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$得，5x²+8mx+4m²-20=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x_2}+{x_2}=-\frac{8m}{5}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-20}}{5}$，…（7分）
要证直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形，
只要证明直线MA，MB的斜率互为相反数即可，…（8分）
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂（k₁≠0，k₂≠0），
∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-4}}+\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-4}}$=$\frac{{（{y_1}-1）（{x_2}-4）+（{y_2}-1）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$
=$\frac{{（{x_1}+m-1）（{x_2}-4）+（{x_2}+m-1）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2{x_1}{x_2}+（m-5）（{x_1}+{x_2}）-8（m-1）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2×\frac{{4{m^2}-20}}{5}+（m-5）（-\frac{8m}{5}）-8（m-1）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$
=$\frac{{8{m^2}-40-8{m^2}+40m-40m+40}}{{5（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}=0$．
故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形． …（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线MA，MB围成一个等腰三角形，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线斜率、韦达定理的合理运用．