Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$（x≠0）．
（1）证明函数f（x）为奇函数；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并说明理由；
（3）若x∈[-2，-3]，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义即可证明，
（2）根据单调性的定义即可证明；
（3）由（1）（2）得f（x）在[-2，-3]上单调递增，即可求出最值．

解答 解：（1）证明：$f（-x）=\frac{{{{（-x）}^2}+1}}{-x}=\frac{{{x^2}+1}}{-x}=-f（x）$

故f（x）为奇函数---------------------------------（3分）
（2）在[1，+∞）上任取x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{x_1}^2+1}}{x_1}-\frac{{{x_2}^2+1}}{x_2}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$
因为1＜x₁＜x₂＜+∞，所以x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0
故$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}＜0$
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在[1，+∞）上单调递增．----------------（8分）
（3）由（1）（2）得f（x）在[-2，-3]上单调递增．
所以$f{（x）_{max}}=f（-3）=-\frac{10}{3}$，$f{（x）_{min}}=f（-2）=-\frac{5}{2}$----------------（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的证明以及单调性的应用，属于中档题．