Question

设数列的前n项和为，且满足＝2－，＝1，2，3，…．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足＝1，且＝＋，求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为．

Answer 1

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)
（3）8－

解析试题分析：（1）因为＝1时，＋＝＋＝2，所以＝1．
因为＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．
两式相减：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．
因为≠0，所以＝( n∈)．
所以数列是首项＝1，公比为的等比数列，
所以＝( ∈)．                                           ……5分
（2）因为＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．从而有
＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．
将这－1个等式相加，得
－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．
又因为＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．
经检验，对=1也成立，
故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                       ……10分
（3）因为＝，
所以＝．  ①